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Matemática e Estatística Aplicada a Administração de Pessoal/RH

 

Teoria de Conjuntos 

Antigamente o estudo da matemática era feito por capítulos que, ao menos pela apresentação, nada tinham em comum. Porém, com o passar do tempo verificou-se não ser essa a melhor maneira de se compreender a matemática como um todo, como na realidade é.

Então foi introduzido o estudo da famosa "matemática moderna", que nada mais é do que um estudo ordenado em grau crescente de dificuldades. Para o início deste estudo, começaremos a fornecer elementos teóricos e práticos que serão utilizados durante o transcorrer de nosso trabalho.

CONJUNTOS:

Nada mais difícil do que tentar explicar uma coisa que todas as pessoas já conhecem.

Conjunto, na verdade, é um conceito primitivo que nos dá a idéia de um agrupamento, uma coleção, uma certa quantidade de objetos que possuem uma certa propriedade comum. Esta idéia, pelo menos inicialmente, é mais que suficiente para que compreendamos o significado da expressão "conjunto".

ELEMENTOS:

Se um conjunto nos dá a idéia de uma coleção de coisas, de objetos, etc, cada uma dessas coisas, desses objetos, enfim, será para nós, um ELEMENTO.

ELEMENTO, portanto, é a unidade formadora de um CONJUNTO.

 

TEORIA DE RESOLUÇÕES DE EXPRESSÕES DO CONJUNTO:

Chamamos de expressão a uma série de operações conjuntas. Para que se possa resolver uma expressão em qualquer capítulo da matemática torna-se necessário obedecer à certas normas, pois nestas expressões constam, além dos sinais representativos das 4 operações básicas, outros sinais, aos quais chamaremos SINAIS GRÁFICOS que são os parênteses, os colchetes e as chaves, à saber:

Parênteses => ( )

Colchetes => [ ]

Chaves => { }

A fim de padronizar ao máximo nossa matéria, utilizaremos, sempre, os seguintes sinais representativos de operações:

adição => +

subtração => -

multiplicação => .

divisão => :

 

NORMAS PARA RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES:

Para encontrarmos a resposta de uma expressão, deveremos obedecer ao seguinte critério de ordem:

Se obedecermos às normas acima, veremos que sempre há uma única operação à ser feita de cada vez, facilitando bastante o trabalho de resolução.

Acompanhe com atenção o exercício abaixo:

Resolver:

14 : 2 + {6 - (15 : 5 + 1) +17 - (2 . 8 : 4 - 3 . 1) } - 5 =

Vamos aplicar todas as regras acima:

Em primeiro lugar, devemos eliminar os parênteses, que no exercício acima são em número de dois. Conservaremos tudo o que não for parênteses, começando sempre à esquerda para a direita.

Observe:

14 : 2 + { 6 - (15 : 5 + 1) + 17 - (2 . 8 : 4 - 3 . 1) } - 5 =

14 : 2 + { 6 - 4 + 17 - 1} - 5 =

A expressão original foi reduzida à segunda desta forma:

1º parênteses = (15 : 5 + 1)

temos:

divisão => 15 : 5 = 3
adição => 3 + 1 = 4

2º parênteses = (2 . 8 : 4 - 3 . 1) = 16 : 4 - 3 = 1

Na expressão reduzida, são os resultados dos parênteses.

A seguir, deveríamos eliminar os colchetes. Porém, não há colchetes neste exercício. Passaremos então à eliminação de chaves, conservando tudo o que não for chave, sempre da esquerda para à direita.

14 : 2 + { 6 - 4 + 17 - 1 } - 5 = 14 : 2 + 18 - 5 =

Veja que a expressão ficou ainda mais simples, graças à eliminação de chave da seguinte forma:

{ 6 - 4 + 17 - 1 } = 2 + 17 - 1 = 19 - 1 = 18

É claro que resolvemos a chave fazendo as operações de adição e subtração porque não havia nenhuma multiplicação ou divisão. É claro, também, que fizemos as contas da esquerda para a direita.

Agora não há mais as chaves. Podemos terminar:

14 : 2 + 18 - 5 = 7 + 18 - 5 = 20 (resposta)

Nota: A divisão foi feita em primeiro lugar. Se você seguir as normas, nunca haverá problemas.

 

REGRAS DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO NAS EXPRESSÕES

 

a) ADIÇÃO COM SINAIS IGUAIS:

Para efetuarmos essa operação, tomamos os valores absolutos dos relativos e conservamos o sinal de todos eles.

Exemplo:

Somar:

(+ 4) + (+ 5) + (+ 12) + (+6) =

Note que cada um dos números da expressão acima é POSITIVO, tendo todos eles sinais iguais. Note também, que os sinais entre um parênteses e outro indicam a OPERAÇÃO que se quer realizar.

Vamos a seguir a regra. Vejamos os valores absolutos:

(+ 4) = 4
(+ 5) = 5
(+ 12) = 12
(+ 6) = 6

Somemos os valores absolutos:

4 + 5 + 12 + 6 = 27

Seguindo ainda regra, vamos colocar o sinal no resultado, repetindo o sinal dos números, no caso o sinal (+).

Logo teremos:

(+ 4) + (+ 5) + (+ 12) + (+ 6) = + 27

Observe, agora, o exemplo abaixo:

Somar:

(- 5) + (- 7) + (- 3) + (- 20) =

Note que cada um dos números do exemplo possui sinal (-). Os sinais (+) entre os dois parênteses estão indicando a operação de adição entre os números.

Aplica-se a regra:

(- 5) = 5
(- 7) = 7
(- 3) = 3
(- 20) = 20

Soma-se os valores absolutos:

5 + 7 + 3 + 20 - 35

Para se dar a resposta, deve-se obedecer à regra, repetindo o sinal dos números no caso o sinal (-).

Teremos então:

(-5) + (-7) + (-3) + (-20) = - 35

 

b) ADIÇÃO COM SINAIS DIFERENTES:

Neste caso, devemos em primeiro lugar obter os totais positivos e os totais negativos, obtendo, evidentemente um total positivo e um total negativo. Então, obedecendo a seguinte regra:

Observe o exemplo abaixo:

Efetuar:

(-12) + (-7) + (+4) + (+20) =

Observe que a expressão acima é uma SOMA de relativos com sinais contrários.

Vamos resolver a expressão por etapas:

Para cada um dos itens acima, podemos efetuar a operação baseados na regra já conhecida.

Então, teremos:

Observa-se que então a expressão acima ficou reduzida a uma soma de um número positivo (+24) com um negativo (-19).

Assim, temos:

(+24) + (-19) =

Para este cálculo, o procedimento será:

(+24) = 24
(-19) = 19

Subtrai-se os valores absolutos:

24 - 19 = 5

O sinal do resultado será o do número que possui maior valor absoluto, no caso, (+ 24). Então a resposta é:

(+ 24) + (- 19) = + 5

c) SUBTRAÇÃO:

A regra para subtração manda transformar a subtração numa SOMA, cujo processo já conhecemos.

Para conseguirmos esta mudança devemos trocar os sinais (-) entre os parêntesis por sinais (+). Porém, isto somente será possível se, para cada sinal que for trocado, trocarmos o sinal do número que segue o sinal (-) da operação.

Veja o exemplo:

Efetuar (+9) - (-8) + (-5) - (-15) + (+5) - (+9) =

Veja que expressão acima contém SOMAS e SUBTRAÇÕES. As somas, nós sabemos dizer. As subtrações, não. Então, vamos transformar as subtrações em somas de acordo com a regra acima. NÃO FAREMOS NENHUMA ALTERAÇÃO NAS SOMAS.

Para obter uma soma equivalente à expressão acima, vem:

(+9) - (-8) + (-5) - (-15) + (+9) =

(+9) + (+8) + (-5) + (+15) + (+5) + (-9)

Veja que, antes dos 2º, 4º e 6º números havia sinais (-) na expressão original, havendo agora apenas sinais (+). Para compensar mudança, os sinais dos 2º, 4º e 6º números estão trocados um a um.

Basta agora, resolver a expressão:

(+9) + (+8) + (-5) + (+15) + (+5) + (-9) =

números positivos = (+9) + (+8) + (+15) + (+5) = + 37

números negativos = (-5) + (-9) = - 14

Operação final: (+37) + (-14) =

(+ 37) = 37

(-14) = l4

Subtração dos valores absolutos = 37 - 14 = 23

Sinal do resultado => (+), pois (+37) > (-14)

Portanto:

(+37) + (-14) = + 23

Embora pareça difícil, não é, pois apenas depende da prática adquirida na elaboração dos exercícios.

 

d) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:

A multiplicação e a divisão de relativos são feitas obedecendo-se às regras já conhecidas, quando do estudo anterior. Para colocarmos sinais, tanto para multiplicação como para divisão, a regra é a mesma, a saber.

Para multiplicarmos ou dividirmos dois relativos, multiplica-se ou dividimos os valores absolutos. O sinal será dado pela seguinte regra:

os números tem sinais iguais => resultado positivo (+)

os números tem sinais contrários => resultado negativo (-)

Então:

(+) . (+) = (+)
(+) . (-) = (-)
(-) . (+) = (-)
(-) . (-) = (+)
(+) : (+) = (+)
(+) : (-) = (-)
(-) : (+) = (-)
(-) : (-) = (+)

Nota: se houver mais de uma multiplicação ou divisão, basta aplicarmos a regra tantas vezes quantas forem as operações.

Veja os exemplos abaixo:

a) (+4) . (+5) = +20
b) (-5) . (+3) = -15
c) (+9) . (-4) = -36
d) (-7) . (-8) = +56
e) (+9) : (+3) = +3
f) (-20) : (+4) = -5
g) (+8) : (-2) = -4
h) (-30) : (-5) = +6

Exemplo:

Como exemplo, vamos fundir as operações de soma e subtração aplicando a regra da multiplicação para ELIMINAR os PARÊNTESIS.

Seja por exemplo a expressão:

(+5) - (+4) - (-7) + (-12) - (+21) =

Tenha em mente que, sempre que um sinal qualquer (parêntesis, colchetes ou chaves) não tem sinal nenhum em sua frente, isto significa que o sinal é (+). Sempre que um número vier sem sinal, isto significa que ele é positivo. Você pode representar um número positivo escrevendo apenas seu valor absoluto. No exemplo acima, não há sinal antes do primeiro parêntesis. Isto quer dizer que este parêntesis tem sinal (+). Veja como se eliminam os parêntesis, com a regra da multiplicação:

+ (+5) - (+4) - (-7) + (-12) - (+ 21) =

+5 -4 +7 -12 -21

A expressão original, após aplicarmos a regra da multiplicação ficou reduzida a:

+5 -4 +7 -12 -21 =

Basta que tratemos esta expressão como uma soma, ou seja:

1) parte positiva: +5 +7 = +12

2) parte negativa: -4 -12 -21 = -37

(+12) = 12

(-37) = 37

Portanto:

37 - 12 = 25

3) Sinal: será (-), pois (-7) > (+12)

Portanto => +5 -4 +7 -12 -21 = -25

 

APLICAÇÃO PRÁTICA NA ADMINISTRAÇÃO DE PESSOAL:

A aplicação prática desta matéria no campo da Administração de Pessoal, poderá ser utilizada, entre outros, para cálculo do FGTS em atraso.

Exemplo:

Fórmula para cálculo da Atualização Monetária do FGTS em atraso:

Para as competências a partir de JULHO/94, calcular utilizando a fórmula:

AT MONET = DEP X {[( 1 + COEF T3) X ICA T4] - 1}, onde:

Cálculo da atualização monetária:

Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[(1 + 0,259356) x 1,006944] - 1}

Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[1,259356 x 1,006944] - 1}

Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[1,268100968] - 1}

Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {0,268100968}

Atualização Monetária = R$ 268,10