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Matemática e Estatística Aplicada a Administração de Pessoal/RH
Teoria de Conjuntos
Antigamente o estudo da matemática era feito por capítulos que, ao menos pela apresentação, nada tinham em comum. Porém, com o passar do tempo verificou-se não ser essa a melhor maneira de se compreender a matemática como um todo, como na realidade é.
Então foi introduzido o estudo da famosa "matemática moderna", que nada mais é do que um estudo ordenado em grau crescente de dificuldades. Para o início deste estudo, começaremos a fornecer elementos teóricos e práticos que serão utilizados durante o transcorrer de nosso trabalho.
CONJUNTOS:
Nada mais difícil do que tentar explicar uma coisa que todas as pessoas já conhecem.
Conjunto, na verdade, é um conceito primitivo que nos dá a idéia de um agrupamento, uma coleção, uma certa quantidade de objetos que possuem uma certa propriedade comum. Esta idéia, pelo menos inicialmente, é mais que suficiente para que compreendamos o significado da expressão "conjunto".
ELEMENTOS:
Se um conjunto nos dá a idéia de uma coleção de coisas, de objetos, etc, cada uma dessas coisas, desses objetos, enfim, será para nós, um ELEMENTO.
ELEMENTO, portanto, é a unidade formadora de um CONJUNTO.
TEORIA DE RESOLUÇÕES DE EXPRESSÕES DO CONJUNTO:
Chamamos de expressão a uma série de operações conjuntas. Para que se possa resolver uma expressão em qualquer capítulo da matemática torna-se necessário obedecer à certas normas, pois nestas expressões constam, além dos sinais representativos das 4 operações básicas, outros sinais, aos quais chamaremos SINAIS GRÁFICOS que são os parênteses, os colchetes e as chaves, à saber:
Parênteses => ( )
Colchetes => [ ]
Chaves => { }
A fim de padronizar ao máximo nossa matéria, utilizaremos, sempre, os seguintes sinais representativos de operações:
adição => +
subtração => -
multiplicação => .
divisão => :
NORMAS PARA RESOLUÇÃO DE EXPRESSÕES:
Para encontrarmos a resposta de uma expressão, deveremos obedecer ao seguinte critério de ordem:
Se obedecermos às normas acima, veremos que sempre há uma única operação à ser feita de cada vez, facilitando bastante o trabalho de resolução.
Acompanhe com atenção o exercício abaixo:
Resolver:
14 : 2 + {6 - (15 : 5 + 1) +17 - (2 . 8 : 4 - 3 . 1) } - 5 =
Vamos aplicar todas as regras acima:
Em primeiro lugar, devemos eliminar os parênteses, que no exercício acima são em número de dois. Conservaremos tudo o que não for parênteses, começando sempre à esquerda para a direita.
Observe:
14 : 2 + { 6 - (15 : 5 + 1) + 17 - (2 . 8 : 4 - 3 . 1) } - 5 =
14 : 2 + { 6 - 4 + 17 - 1} - 5 =
A expressão original foi reduzida à segunda desta forma:
1º parênteses = (15 : 5 + 1)
temos:
2º parênteses = (2 . 8 : 4 - 3 . 1) = 16 : 4 - 3 = 1
Na expressão reduzida, são os resultados dos parênteses.
A seguir, deveríamos eliminar os colchetes. Porém, não há colchetes neste exercício. Passaremos então à eliminação de chaves, conservando tudo o que não for chave, sempre da esquerda para à direita.
14 : 2 + { 6 - 4 + 17 - 1 } - 5 = 14 : 2 + 18 - 5 =
Veja que a expressão ficou ainda mais simples, graças à eliminação de chave da seguinte forma:
{ 6 - 4 + 17 - 1 } = 2 + 17 - 1 = 19 - 1 = 18
É claro que resolvemos a chave fazendo as operações de adição e subtração porque não havia nenhuma multiplicação ou divisão. É claro, também, que fizemos as contas da esquerda para a direita.
Agora não há mais as chaves. Podemos terminar:
14 : 2 + 18 - 5 = 7 + 18 - 5 = 20 (resposta)
Nota: A divisão foi feita em primeiro lugar. Se você seguir as normas, nunca haverá problemas.
REGRAS DE ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO NAS EXPRESSÕES
a) ADIÇÃO COM SINAIS IGUAIS:
Para efetuarmos essa operação, tomamos os valores absolutos dos relativos e conservamos o sinal de todos eles.
Exemplo:
Somar:
(+ 4) + (+ 5) + (+ 12) + (+6) =
Note que cada um dos números da expressão acima é POSITIVO, tendo todos eles sinais iguais. Note também, que os sinais entre um parênteses e outro indicam a OPERAÇÃO que se quer realizar.
Vamos a seguir a regra. Vejamos os valores absolutos:
Somemos os valores absolutos:
4 + 5 + 12 + 6 = 27
Seguindo ainda regra, vamos colocar o sinal no resultado, repetindo o sinal dos números, no caso o sinal (+).
Logo teremos:
(+ 4) + (+ 5) + (+ 12) + (+ 6) = + 27
Observe, agora, o exemplo abaixo:
Somar:
(- 5) + (- 7) + (- 3) + (- 20) =
Note que cada um dos números do exemplo possui sinal (-). Os sinais (+) entre os dois parênteses estão indicando a operação de adição entre os números.
Aplica-se a regra:
Soma-se os valores absolutos:
5 + 7 + 3 + 20 - 35
Para se dar a resposta, deve-se obedecer à regra, repetindo o sinal dos números no caso o sinal (-).
Teremos então:
(-5) + (-7) + (-3) + (-20) = - 35
b) ADIÇÃO COM SINAIS DIFERENTES:
Neste caso, devemos em primeiro lugar obter os totais positivos e os totais negativos, obtendo, evidentemente um total positivo e um total negativo. Então, obedecendo a seguinte regra:
Observe o exemplo abaixo:
Efetuar:
(-12) + (-7) + (+4) + (+20) =
Observe que a expressão acima é uma SOMA de relativos com sinais contrários.
Vamos resolver a expressão por etapas:
Para cada um dos itens acima, podemos efetuar a operação baseados na regra já conhecida.
Então, teremos:
Observa-se que então a expressão acima ficou reduzida a uma soma de um número positivo (+24) com um negativo (-19).
Assim, temos:
(+24) + (-19) =
Para este cálculo, o procedimento será:
Subtrai-se os valores absolutos:
24 - 19 = 5
O sinal do resultado será o do número que possui maior valor absoluto, no caso, (+ 24). Então a resposta é:
(+ 24) + (- 19) = + 5
c) SUBTRAÇÃO:
A regra para subtração manda transformar a subtração numa SOMA, cujo processo já conhecemos.
Para conseguirmos esta mudança devemos trocar os sinais (-) entre os parêntesis por sinais (+). Porém, isto somente será possível se, para cada sinal que for trocado, trocarmos o sinal do número que segue o sinal (-) da operação.
Veja o exemplo:
Efetuar (+9) - (-8) + (-5) - (-15) + (+5) - (+9) =
Veja que expressão acima contém SOMAS e SUBTRAÇÕES. As somas, nós sabemos dizer. As subtrações, não. Então, vamos transformar as subtrações em somas de acordo com a regra acima. NÃO FAREMOS NENHUMA ALTERAÇÃO NAS SOMAS.
Para obter uma soma equivalente à expressão acima, vem:
(+9) - (-8) + (-5) - (-15) + (+9) =
(+9) + (+8) + (-5) + (+15) + (+5) + (-9)
Veja que, antes dos 2º, 4º e 6º números havia sinais (-) na expressão original, havendo agora apenas sinais (+). Para compensar mudança, os sinais dos 2º, 4º e 6º números estão trocados um a um.
Basta agora, resolver a expressão:
(+9) + (+8) + (-5) + (+15) + (+5) + (-9) =
números positivos = (+9) + (+8) + (+15) + (+5) = + 37
números negativos = (-5) + (-9) = - 14
Operação final: (+37) + (-14) =
(+ 37) = 37
(-14) = l4
Subtração dos valores absolutos = 37 - 14 = 23
Sinal do resultado => (+), pois (+37) > (-14)
Portanto:
(+37) + (-14) = + 23
Embora pareça difícil, não é, pois apenas depende da prática adquirida na elaboração dos exercícios.
d) MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:
A multiplicação e a divisão de relativos são feitas obedecendo-se às regras já conhecidas, quando do estudo anterior. Para colocarmos sinais, tanto para multiplicação como para divisão, a regra é a mesma, a saber.
Para multiplicarmos ou dividirmos dois relativos, multiplica-se ou dividimos os valores absolutos. O sinal será dado pela seguinte regra:
os números tem sinais iguais => resultado positivo (+)
os números tem sinais contrários => resultado negativo (-)
Então:
Nota: se houver mais de uma multiplicação ou divisão, basta aplicarmos a regra tantas vezes quantas forem as operações.
Veja os exemplos abaixo:
Exemplo:
Como exemplo, vamos fundir as operações de soma e subtração aplicando a regra da multiplicação para ELIMINAR os PARÊNTESIS.
Seja por exemplo a expressão:
(+5) - (+4) - (-7) + (-12) - (+21) =
Tenha em mente que, sempre que um sinal qualquer (parêntesis, colchetes ou chaves) não tem sinal nenhum em sua frente, isto significa que o sinal é (+). Sempre que um número vier sem sinal, isto significa que ele é positivo. Você pode representar um número positivo escrevendo apenas seu valor absoluto. No exemplo acima, não há sinal antes do primeiro parêntesis. Isto quer dizer que este parêntesis tem sinal (+). Veja como se eliminam os parêntesis, com a regra da multiplicação:
+ (+5) - (+4) - (-7) + (-12) - (+ 21) =
+5 -4 +7 -12 -21
A expressão original, após aplicarmos a regra da multiplicação ficou reduzida a:
+5 -4 +7 -12 -21 =
Basta que tratemos esta expressão como uma soma, ou seja:
1) parte positiva: +5 +7 = +12
2) parte negativa: -4 -12 -21 = -37
(+12) = 12
(-37) = 37
Portanto:
37 - 12 = 25
3) Sinal: será (-), pois (-7) > (+12)
Portanto => +5 -4 +7 -12 -21 = -25
APLICAÇÃO PRÁTICA NA ADMINISTRAÇÃO DE PESSOAL:
A aplicação prática desta matéria no campo da Administração de Pessoal, poderá ser utilizada, entre outros, para cálculo do FGTS em atraso.
Exemplo:
Fórmula para cálculo da Atualização Monetária do FGTS em atraso:
Para as competências a partir de JULHO/94, calcular utilizando a fórmula:
AT MONET = DEP X {[( 1 + COEF T3) X ICA T4] - 1}, onde:
Cálculo da atualização monetária:
Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[(1 + 0,259356) x 1,006944] - 1}
Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[1,259356 x 1,006944] - 1}
Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {[1,268100968] - 1}
Atualização Monetária = R$ 1.000,00 x {0,268100968}
Atualização Monetária = R$ 268,10