Chama-se potência de um número inteiro relativo um produto de dois ou mais fatores iguais a esse número.

Assim:

O produto (-2) x (-2) x (-2) é a terceira potência ou cubo de -2.

Escreve-se: (-2) x (-2) x (-2) = (-2)³ = -8

A operação feita é a potenciação: -2 é a base e 3 o expoente.

Outros exemplos:

(+3)² = (+3) x (+3) = + 9 é a segunda potência ou quadrado de +3;

(-1)⁴ = (-1) x (-1) x (-1) x (-1) = + 1 é a quarta potência de -1;

(+5)⁵ = (+2) x (+2) x (+2) x (+2) x (+2) = +32 é a quinta potência de +2.

Tendo em vista que a potência é um produto de fatores iguais, vê-se logo que:

• se a base for positiva, tem-se um produto de fatores positivos e, portanto, a potência será positiva;
• se a base for negativa, tem-se um produto de fatores negativos e, portanto, a potência será positiva se o expoente for par e negativa se o expoente for ímpar.

Exemplos: (só considerando o sinal)

a) (+4)² = +

b) (-3)² = +

c) (-3)³ = -

Destas considerações, segue-se a regra dos sinais:

" Quando não se anulam, as potências de expoente PAR são sempre POSITIVAS e as potências de expoente IMPAR tem sempre o SINAL DA BASE. "

CONVENÇÃO:

Do mesmo modo que para os números naturais, aceita-se considerar potências com expoente 1 e com expoente 0 (neste caso, com base diferente de zero) e convenciona-se que:

" A potência de expoente 1 é igual à própria base; a potência de expoente 0 é igual a +1."

Assim, por exemplo:

(+4)¹ = +4 ...

(+5)⁰ = +1 ...

Nota: 0⁰ não é potência !!!

PROPRIEDADES:

Para as potências de números inteiros relativos valem todas as propriedades válidas para as potências de números naturais.

Vejamos alguns exemplos:

1. PRODUTO DE DUAS OU MAIS POTÊNCIAS DE MESMA BASE:

(+3)⁴ x (+3)³ x = (+3)^{4 + 3} = (+3)⁷

2. QUOCIENTE DE DUAS POTÊNCIAS DE MESMA BASE:

(+ 5)⁷ : (+5)³ = (+5) ^{7 - 3} = (+5)⁴

3. POTÊNCIA DE UMA POTÊNCIA:

[(+7)³]⁴ = (+7)^{3 x 4} = (+7)¹²

4. POTÊNCIA DE UM PRODUTO:

[(-3) X (+5)]⁴ = (-3)⁴ x (+5)⁴

5. POTÊNCIA DE UM QUOCIENTE:

[(-8) : (+2)]⁵ = (-8)⁵ : (+2)⁵

EXTRAÇÃO DA RAIZ QUADRADA:

Identicamente ao que ocorre com os números naturais:

" Raiz Quadrada de um número inteiro relativo é o número cujo quadrado é igual ao número dado."

Como 2 é par, vê-se logo que o quadrado de um número relativo, quando não for igual a zero, é sempre positivo.

Portanto, não há número negativo que seja quadrado de outro número, donde se conclui:

" Os números negativos não tem raiz quadrada " .

Por outro, consideremos, um número positivo quadrado perfeito, +9.

Exemplo:

Como +9 = (+3)² então Ö +9 = + 3

mas, também:

+9 = (-3)² e daí Ö + 9 = -3

Verifica-se que o mesmo se dá com qualquer outro número positivo quadrado perfeito.

Portanto,

" Os números positivos quadrados perfeitos tem duas raízes quadradas, de mesmo valor absoluto e de sinais contrários."

Exemplos:

as raízes quadradas de +25 são +5 e -5

escreve-se Ö +25 = ± 5

as raízes quadradas de +49 são +7 e -7

escreve-se Ö +49 = ± 7

EXTRAÇÃO:

Para os números inteiros "não negativos" que são quadrados perfeitos, a raiz quadrada (em valor absoluto) pode ser determinada mentalmente ou por um dos processos já conhecidos:

a) pela decomposição em fatores primos;

b) pela regra prática.

Exemplo: Ö +576 = ?

Portanto:

576 = 2⁶ x 3² = (2³ x 3)² = 24²

576 = 24²

donde se conclui:

Ö 576 = ± 24