Determinação da Mediana de valores tabulados

1º caso: Dados não agrupados em classes.

Vamos determinar a mediana da seguinte distribuição de freqüências:

O procedimento para o cálculo é o seguinte:

a) Determinação do elemento mediado.

Como o número de valores é par, o elemento mediado será:

E_m = N : 2 = 200 : 2 = 100.

b) Para localizarmos o elemento mediano precisamos acumular ou somar as freqüências "abaixo de", até o valor que se situar no 100º lugar. Construindo a tabela das freqüências acumuladas "abaixo de", temos o seguinte quadro:

c) A mediana deverá corresponder, como vimos, ao 100º valor. Pela tabela de freqüências acumuladas nota-se que até a nota 4 (inclusive) temos 57 valores.

Devemos, portanto, tomar mais 43 valores para termos a mediana. Até a nota 5 acumulamos 152 valores, passando do 100º valor.

Então, se tomarmos 43 valores acima de nota 4, fatalmente cairemos na nota 5, pois esta tem freqüência igual a 95, e se tomarmos 43 observações suas, ainda restam 52. Portanto, Md = 5.

2º caso: Dados agrupados em classes:

Vamos determinar a mediana da seguinte distribuição de freqüências, no seguinte quadro:

Determinação do elemento mediano:

E_m = 100 : 2 = 50

Localização do elemento mediano. Nesse caso devemos localizar a classe da mediana, isto é, aquela onde se encontra a mediana.

Para isso, precisamos determinar as freqüências acumuladas "abaixo de" no seguinte quadro:

Identificação da Mediana:

Verificamos que até a terceira classe (inclusive) temos 85 valores. Como precisamos apenas de 50 elementos, a mediana se encontra na classe 400 |^___ 500, ou seja, a terceira classe. Para determiná-la, faremos uso de uma fórmula cuja dedução escapa ao nível desse trabalho. A fórmula utilizada é a seguinte:

Md = [1 + (E_m - F_ant) : f] x c

l = 400

F_ant = 45

c = 100

E_m = 50

f = 40

logo:

Md = [400 + (50 - 45) : 40] x 100

= 400 + 12,5 = 412,5

Determinar a mediana:

Solução => E_m = 500 : 2 = 250

A soma das freqüências até a quarta classe (inclusive) é igual a 212, mas precisamos de 250 valores para determinar a classe mediana. Portanto, a mediana está na quinta classe, ou seja, 171 |^___ 176 é a classe que contém a mediana.

Uma vez encontrada a classe que contém a mediana, podem ser determinados os demais elementos da fórmula ou seja:

l = 171

F_ant = 212

f = 180

c = 5

logo:

Md = [171 + (250 - 212) : 180] x 5

Md = 171 + 1,06 = 172,06.

Quartis:

Os quartis, como o próprio nome insinua, dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. O primeiro quartil (Q1) divide a série em duas partes, mas de modo que ¼ dos elementos fiquem abaixo dele e os ¾ restantes, acima. O segundo quartil é a mediana e divide a série em duas partes iguais. O terceiro quartil (Q3) divide a série em duas partes, tais que ¾ dos elementos fiquem abaixo dele e o ¼ restante, acima.

1º Quartil e 3º Quartil:

Para determinarmos Q1, o raciocínio é o mesmo empregado para a mediana, com uma diferença: o elemento mediano dará lugar aos elementos que definirão, respectivamente, o primeiro e terceiro quartis.

O elemento que definirá o primeiro quartil será:

E_q1 = N : 4

O elemento que definirá o terceiro quartil será:

E_q3 = 3N : 4

Todas as considerações relativas à mediana são aplicáveis aos demais quartis.

Cálculo do 1º Quartil:

O cálculo do primeiro quartil para dados agrupados em classes utiliza fórmula análoga à da mediana:

Q₁ = [1 + (Q_q1 = F_ant) : f] x c

Cálculo do 3º Quartil:

A fórmula é a seguinte:

Q₃ = [1 + (E_q3 - F_ant) : f] x c

Suponhamos que os dados do quadro seguinte refiram-se à distribuição dos diâmetros das cabeças dos rebites produzidos por uma determinada fábrica.

Vamos encontrar os Q1, Q3 e a Mediana da série.

O primeiro passo é determinar as freqüências acumuladas "abaixo de":

Decís e Percentís:

O mesmo raciocínio aplicável aos quartis pode ser empregado para a determinação dos elementos decís e centís, nos diferentes casos de apresentação dos dados. A única diferença consiste na determinação dos decís e elementos centís. Existem, e é fácil verificar, 9 decís, que dividem a distribuição em 10 partes iguais (quanto ao número de elementos). Os centís ou percentís são 99 e dividem a distribuição em 100 partes iguais, relativamente ao número de elementos. As fórmulas do cálculo do decís e centís para os dados agrupados em classes são as mesmas que as dos quartis, mudando-se apenas o valor do elemento. Assim, se pretendermos determinar os decís, o elemento decil será:

• para o 1º decil => E_d1 = N : 10
• para o 2º decil => E_d2 = 2N : 10
• para o 9º decil => E_d9 = 9N : 10

No caso dos centís, o elemento centil será:

• para o 1º centil => E_c1 = N : 100
• para o 2º centil => E_c2 = 2N : 100
• para o 99º centil => E_c99 = 99N : 100