Média Aritmética Ponderada

No exemplo anterior, três valores se repetem duas vezes: há dois números 3, dois números 0 e dois números 1.

Neste caso, um recurso permite simplificar o cálculo da média X. Em vez de somar estes números duas vezes, somam-se produtos deles pelo número de vezes que aparecem.

X = (1x2) + (2x1) + (3x2) + (6x1) + (0x2) + (9x1) + (25x1) : 10 = 5

Chamamos o resultado desta operação de média aritmética ponderada.

Você já sabe que o número de vezes que um determinado valor aparece num conjunto de dados é definido com freqüência. Assim, em termos estatísticos, o que fizemos foi somar o produto de cada valor do conjunto pela sua respectiva freqüência (note que os números 2, 6, 9 e 25 aparecem um única vez, tendo, portanto, freqüência igual a 1; assim, multiplicados por 1, resultam neles mesmos, e dividir pela soma das freqüências.

Nesse caso, a freqüência de cada um dos valores atua como um PESO ou fator de ponderação.

Para ilustrar melhor este ponto, voltemos a problema do Gerente de Pessoal nos exemplos anteriores. Você se lembra de que, pesquisando o número de filhos de funcionários, ele chegou a seguinte distribuição de freqüências:

Se quiser determinar o número médio de filhos por funcionário, o Gerente de Pessoal terá de multiplicar cada um dos valores da coluna da esquerda pelo número correspondente da coluna da direita, obter a soma desses produtos e dividir o resultado pelo total de funcionários, que é 120. Em outras palavras, dividir pela freqüência total a soma dos produtos da variável pelas respectivas freqüências simples.

Vejamos no quadro seguinte o cálculo da média.

A média será => X = 255 : 120 = 2,125

ou seja, os funcionários dessa empresa, possuem, em média, dois filhos cada.

Poderíamos ter chegado a esse mesmo valor, calculando-o pela fórmula, a partir dos dados brutos levantados pelo Gerente e que constam do quadro anterior. Mas é fácil imaginar como seria trabalhoso somar aqueles 120 números.

Para sintetizar a definição da média nesse caso, vamos dar-lhe uma expressão matemática como fizemos para a média com dados brutos.

• como somamos os produtos da variável pelas suas respectivas freqüências, vamos indicar isso pelo símbolo: x.f;
• em seguida dividimos esta soma pelo número total de observações "N";
• a média será então: X = (å x.f) : N ou então, como N = å f, isto é, N é a soma das freqüências: X = (å x.f : å f).

EXEMPLO DE APLICAÇÃO PARA CÁLCULO DA MÉDIA DE HORAS EXTRAS COM DIFERENTES ADICIONAIS:

Portanto:

Portanto, o percentual ponderado dos adicionais será de:

X = (å x.f) : å f

X = (329,8 : 194) = 1.70 ou seja 70%.

Se o período de apontamento dessas horas fosse de 12 meses, então a média de horas com adicional de 70% seria de:

194 : 12 = 16,1667 x salário-hora x 1.70 = valor da integração (no 13º salário, férias, aviso prévio, etc).