Equações do 1º grau com duas variáveis simultâneas

Consideremos agora uma sentença aberta composta constituída, por exemplo, pela equação x + 3y = 9 e pela equação 2x - y = 4.

Tal sentença composta chama-se sistema de duas equações simultâneas do 1º grau com duas variáveis e costuma-se escrevê-la sob a forma:

x - 3y = 9

2x - y = 4

E podem ser resolvidos pelos seguintes sistemas:

a) método de eliminação por substituição;

b) método de eliminação por comparação;

c) eliminação por adição.

Eliminação por substituição:

Consideremos o sistema:

x + 3y = 9

2x - y = 4 => sistema A

Resolvendo a primeira equação em relação a "x", como se "y" fosse conhecido, encontramos:

x = 9 - 3y (1)

substituindo "x" pelo valor acima na segunda equação do sistema proposto, vem:

2 (9 - 3y) - y = 4 (2)

As equações (1) e (2) formam o sistema:

x = 9 - 3y (3)

2 (9 - 3y) - y = 4 (4) sistema B

que é equivalente ao primeiro, e no qual a segunda equação contém apenas uma incógnita. Resolvendo-a, encontraremos sucessivamente:

2 (9 - 3y) - y = 4

18 - 6y - y = 4

- 6y - y = 4 - 18

- 7y = - 14

y = 14/7

y = 2

Substituindo no sistema B a equação (4) pelo valor acima, formamos o sistema:

x = 9 - 3y

y = 2 sistema C

Substituindo "y" por seu valor na primeira equação do sistema C, resulta:

x = 9 - 3y

x = 9 - 6

x = 3

obtemos, desse modo, a solução do sistema proposto;

x = 3 e y = 2

Verificação:

substituindo, nas equações do sistema A, "x" e "y" pelos valores obtidos, vem:

3 + 3 . 2 = 9 ou 9 = 9

2 . 3 - 2 = 4 ou 4 = 4

Eliminação por comparação:

Seja o sistema:

3x + 2y = 11 (1)

2x + 3y = 9 (2) sistema A

Resolvendo essa equação com relação a "x", temos:

3x = 11 - 2y

2x = 9 - 3y

x= (11 - 2y) : 3 (3)

x= (9 - 3y) : 2 (4)

Sendo iguais os primeiros membros das equações acima, podemos escrever:

(11 - 2y) : 3 = (9 - 3y) : 2 (5)

Com a primeira equação do sistema B e com a equação (9), formemos o sistema:

x = (11 - 2y) : 3 (6)

(11 - 2y) : 3 = (9 - 3y) : 2 (7) sistema C

que é equivalente ao primitivo sistema A e no qual a segunda equação contém apenas uma incógnita. Resolvendo-a, encontraremos, sucessivamente

(11 - 2y) : 3 = (9 - 3y) : 2

Portanto:

2 (11 - 2y) = 3 (9 - 3y)

- 4y + 9y = 27 - 22

5y = 5

y = 5/5

y = 1

Substituindo no sistema C a equação (7) pelo valor acima, obtemos o sistema:

x = (11 - 2y) : 3

y = 1 sistema D

Substituindo "y" por seu valor na primeira equação do sistema D, resulta:

x = (11 - 2y) : 3

x = (11 - 2) : 3

x = 3

Obtemos desse modo a solução do sistema proposto: x = 3 e y = 1

Verificação:

substituindo, nas equações do sistema A, "x" e "y" pelos valores obtidos, temos:

3 . 3 + 2 . 1 = 11 ou 11 = 11

2 . 3 + 3 . 1 = 9 ou 9 = 9

Eliminação por adição:

Considerando o sistema:

5x + 3y = 19 (1)

7x - 2y = 8 (2) sistema A

Procuraremos eliminar "y". Para isso, a primeira equação por 2 e segunda por 3. O sistema resultante, a saber:

21x - 6y = 24 (4)

10x + 6y = 38 (3) sistema C

É equivalente ao primitivo, mas os coeficientes de "y" nas duas equações que constituem são números opostos. Somando-o membro a membro, temos:

A equação obtida 31x = 62, é do primeiro grau com uma incógnita (variável). Resolvendo-a, encontramos x = 2.

Com esse valor e equação (1), formamos o sistema:

5x + 3y = 19 (5)

x = 2 (6)

Substituindo "x" por seu valor na primeira das equações acima, temos:

5 . 2 + 3y = 19

10 + 3y = 19

3y = 19 - 10

3y = 9

y = 9/3

y = 3

Obtemos, desse modo, a solução do sistema:

x = 2 e y=3

Verificação:

substituindo nas equações (1) e (2) "x" e "y" por seus valores resulta:

5 . 2 + 3 . 3 = 19 ou 19 = 19

7 . 2 - 2 . 3 = 8 ou 8 = 8

Aplicação prática na Administração de Pessoal:

No campo da Administração de Pessoal, é possível projetar qualquer salário, através do seu valor do cargo, ou seja, o cargo deverá ter um valor pelos métodos quantitativos na avaliação de cargos.

Através desta técnica, é possível, partindo de uma amostra salarial, projetar todos os salários-médios de todos os cargos.

Para melhor entendimento, vamos utilizar um exemplo:

Digamos que através de uma avaliação de cargos e através de uma pesquisa salarial, obtivemos os seguintes resultados:

Pretendemos através destes dados, montar uma fórmula matemática que permita projetar salários para qualquer pontuação de cargos, bem entendido através de uma linha reta, denominado de ajustamento linear.

O ajustamento dessa reta, permite que todos os salários e pontos sejam misturados e ajustados numa reta em forma de média.

Portanto, o salário projetado para um determinado valor de cargo, será a projeção média de salário, partindo de uma amostra na pesquisa salarial.

Para resolver esta equação, necessitamos de encontrar os valores de duas variáveis isto é, o valor de "a" e "b", mediante a aplicação das seguintes fórmulas:

å y = n . a + b å x

å xy = a å x + b å x²

Onde:

å = leia-se somatório

n = corresponde ao número de observações.

Portanto, adaptando a fórmula, temos:

8033 = 9 a + 1264b

1194303 = 1264 a + 191748b

Para se achar o valor de "a", utilizamos o método de comparação:

9 a + 1264b = 8033

1264 a + 191748b = 1194303

Portanto:

a = (8033 - 1264b) : 9 = a = (1194303 - 191748b) : 1264

Resolvendo, ficará assim:

Logo:

9 (1194303 - 191748b) = 1264 (8033 - 1264b)

10748727 - 1725732b = 10153712 - 1597696b

10748727 - 10153712 = 1597696b - 1725732b

Resolvendo os cálculos de subtração, ficará assim:

595015 = 128036b

Portanto:

b = 595015 : 128036

b = 4,65

Substituindo a equação original:

8033 = 9 a + 1264b

Ficará assim:

8033 = 9 a + 1264 (4,65)

8033 = 9 a + 5877,60

Logo:

a = (8033 - 5877,60) : 9

a = 239,49

A equação da reta ficará assim:

y = 239,49 + 4,65 (x)

Portanto, o salário médio projetado para um cargo com 300 pontos será:

y = 239,49 + 4,65 (300)

y = 239,49 + 1395

y = 1634,49 (= salário de cargo com 300 pontos)

E assim por diante.