Conversão de fração ordinária em numerais decimais e vice-versa

Como já conhecemos, toda fração decimal pode ser escrita como numeral decimal. Exemplo:

75 : 100 = 0,75

Existem também algumas frações ordinárias que podem ser transformadas em numerais decimais: basta que tenham como equivalentes frações decimais. É o que acontece, por exemplo, com a fração ordinária ¾, onde:

¾ = (3 x 25) : (4 x 25) =

75 : 100 = 0,75

Já o mesmo não ocorre, por exemplo, com a fração ordinária 3/7, que não admite uma fração decimal equivalente. Daí a expressão => conversão de uma fração ordinária em numeral decimal, só ter sentido em alguns casos.

Praticamente, a procura da fração decimal equivalente a uma fração ordinária dada é feita dividindo-se o numerador dessa fração pelo seu denominador.

Podem acontecer dois casos:

1º) a divisão é exata: nesse caso diz-se que a fração ordinária converteu-se numa "decimal exata" (o mesmo que numeral decimal), pelo fato de o quociente dessa divisão admitir, na sua representação, um número "finito" de casas decimais;

2º) a divisão não é exata: nesse caso existirão restos não-nulos que se repetirão periodicamente; o quociente, por sua vez, prolongar-se-á indefinidamente e diz-se que a fração ordinária converteu-se numa "decimal periódica" ou "dízima periódica".

Exemplos:

Efetuar a conversão das seguintes frações ordinárias:

3/25

47/20

8/11

308/90

Fazendo as respectivas divisões, temos:

3/25 = 0,12 (decimal exata)

47/20 = 2,35 (decimal exata)

8/11 = 0,727272 ... (dízima periódica)

308/90 = 3,4222 .... (dízima periódica)

Condição para que uma fração ordinária se converta numa decimal exata

Como numa fração decimal o denominador é uma potência de 10, segue-se que toda fração ordinária cujo denominador possa ser transformado numa potência de 10 se tornará, na conversão, uma decimal exata (numeral decimal).

Sendo 2 e 5, com determinados expoentes, os únicos fatores das potências de 10, vale a seguinte "técnica de cálculo", que permite saber o resultado da conversão sem efetuar a divisão !

" Fatora-se completamente o denominador da fração ordinária (irredutível); se ele contiver somente os fatores 2 e 5, a fração converter-se-á numa decimal exata; o número de casas decimais é igual ao maior dos expoentes de 2 ou 5. "

Exemplos:

1º) Converter a fração => 27/120 =

Primeiramente, tornamo-la irredutível: 27/120 = 9/40 e, como o denominador 40 = 2³ x 5 só contém os fatores 2 e 5, segue-se que a fração 9/40 converter-se-á numa "decimal exata" com três casas decimais (que é o expoente de 2).

Logo:

27/120 => (decimal exata com 3 casas decimais)

2º) Converter a fração => 13/4 =

Temos => 4 = 2² e portanto: 13/4 (decimal exata com duas casas)

Nota: O fato de aparecer no denominador somente o fator 2 (ou 5) ainda satisfaz a técnica empregada, pois a ausência de um dos fatores significa que no produto esse fator figura com o expoente "zero" que, como sabemos, vale 1.

No exemplo, temos => 4 = 2² x 5⁰.

3º) Converter a fração => 1/100 =

Temos => 100 = 2² x 5² e, portanto => 1/100 (decimal exata com 2 casas).

Condição para que uma fração ordinária se converta numa dízima periódica

Seja a fração => 8/11

Dividindo-se 8 por 11, os restos que se vão obtendo (nunca são nulos) devem ser menores que 11, e portanto, depois de um certo número de vezes eles se repetirão, provocando no quociente os mesmos algarismos sempre na mesma ordem.

Desse modo, o quociente é um número cuja representação decimal apresenta um grupo de algarismos, chamado período, que se repete indefinidamente. Tal quociente é a dízima periódica ou decimal periódica.

Se o período vier logo depois da vírgula, a dízima periódica diz-se simples e no caso de existir entre a vírgula e o período uma parte decimal, a dízima periódica diz-se composta. Tal parte decimal é, geralmente, denominada não-periódica.

Exemplo 1:

0,727272 ...

que também se representa por 0,72, é uma dízima periódica simples, de período 72;

Nota: Costuma-se usar também a notação: 0,[72] para representar a dízima periódica 0,727272 ...

Exemplo 2:

8,513513513 ... ou 8,513 é uma dízima periódica simples de período 513;

Exemplo 3:

0,82646464 ... ou 0,8264 é uma dízima periódica composta de período 64 e cuja parte não-periódica é 82;

Exemplo 4:

67,0333 ... ou 67,03 é uma dízima periódica composta de período 3 e parte não periódica 0.

Também agora, é possível prever-se a espécie da dízima periódica, quando se converte uma fração ordinária, sem efetuar a divisão. A técnica de cálculo é a seguinte:

"Fatora-se completamente o denominador da fração ordinária (irredutível); se ele não contiver os fatores 2 e 5 a fração converter-se-á numa dízima periódica simples; caso contenha um desses fatores e outros, a dízima periódica será composta."

Exemplos:

1º) Converter a fração: 4/11 =

Como o denominador não contém os fatores 2 e 5, esta fração converter-se-á numa dízima periódica simples.

Logo:

4/11 => dízima periódica simples.

2º) Converter a fração => 21/45 =

Simplificando, temos:

21/45 = 7/15

Como o denominador 15 = 3 x 5, além do fator 5, contém o fator 3, a fração converter-se-á numa dízima periódica composta.

Logo:

21/45 => dízima periódica composta.

3º) Converter a fração => 191/60

Como 60 = 2² x 3 x 5, além dos fatores 2 e 5, contém o fator 3, então:

191/60 => dízima periódica composta.