Sistema de numeração decimal:

O que é sistema de numeração decimal?

O nome tão conhecido de numeração decimal significa um sistema de numeração com as seguintes características:

1º) é de base 10;

2º) usa somente os 10 numerais hindu-arábicos (algarismos). Exemplo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0 para escrever todos os números;

3º) obedece ao princípio da posição decimal.

Para melhor conhecimento das 3 características do sistema de numeração decimal que, de certa forma, já é conhecido de todos pelo uso constante que tem, lembramos que:

a) Os conjuntos de 10 elementos são denominados dezenas; agrupando as dezenas em conjuntos de 10 obtemos as centenas; e assim sucessivamente aparecerão novas ordens, sempre agrupando os elementos de 10 em 10. Reunindo as ordens em classe, simplificar-se-á a maneira de falar os números (numeração falada), de acordo com a seguinte disposição:

b) Os numerais hindu-arábicos (algarismos): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0, que permitem contar usando-se as pontas dos dedos, são também denominados dígitos. Quando se diz algarismo significativo, trata-se de qualquer dos algarismos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O algarismo 0 (zero) é denominado não-significativo.

c) Para poder escrever qualquer número (numeração escrita), usando somente os numerais hindu-arábicos (algarismos) é necessário empregar o importantíssimo princípio da posição decimal, de invenção hindu.

" Todo algarismo escrito à esquerda de outro representa unidades dez vezes maiores que as desse outro. "

Por esse princípio, um mesmo algarismo (e tome bem nota desse fato) pode vale muitas ou poucas unidades. Assim por exemplo, em: 33.

O primeiro 3 vale trinta (3 x 10) e o segundo 3 vale três mesmo.

Nota:

• Cada algarismo significativo tem dois valores: valor absoluto e valor relativo. O valor absoluto e o representado pelo algarismo isoladamente e valor relativo é o representado pelo algarismo de acordo com a posição que ocupa no numeral escrito;
• O primeiro algarismo escrito à direita indica as unidades simples;
• Caso não contenha as unidades de uma determinada ordem, escreve-se no lugar correspondente das mesmas o algarismo 0 (zero);
• Ao escrever-se um número de mais de três algarismos, deve-se separá-los em classes de três algarismos, a partir da direita; a separação é feita com um pequeno intervalo, não se devendo usar qualquer sinal, como ponto ou vírgula.

Sistema de numeração não-decimal:

Todo sistema cuja unidade principal não está em relação decimal com seus múltiplos e submúltiplos, diz-se NÃO-DECIMAL.

Os números que exprimem as medidas de grandezas, em um sistema não-decimal, são chamados não-decimais ou complexos, porque apresentam a medida por meio de dois ou mais múltiplos ou submúltiplos (não-decimais, naturalmente) da unidade principal.

Quando você diz que são 8 horas e 20 minutos, não pode escrever: 8,20 hs, que, em absoluto, significa a hora que você disse, e sim 8 horas e 12 minutos, pois os 12 minutos eqüivalem dois décimos da hora (cada décimos vale 6 minutos).

Dentro do sistema de medida de tempo, que é não-decimal (é sexagesimal), a hora que você disse só poderá ser escrita através do número não-decimal: 8h 20min.

Calendários:

Você bem sabe como passa o tempo através de:

• o dia (solar) que é o intervalo de tempo que a Terra leva para dar uma volta sobre si mesma;
• o ano (solar) que é o intervalo de tempo que a Terra leva para dar uma volta ao redor do Sol.

Como o ano é um pouco mais de 365 dias, ou seja: 365,2421985 dias, evita-se trabalhar com tal número decimal, tomando-se para o ano 365 dias com o nome de ano civil. O erro que se comete é compensado cada 4 anos, quando se acrescenta um dia ao ano civil que passa a ter 366 dias e recebe o nome de bissexto.

Assim, o ano civil está dividido em 12 meses:

Os anos são contados a partir de um acontecimento marcante, que para nós é o nascimento de Cristo (Era Cristã), há mais de 1998 anos !

As tábuas que registram dias e anos chamam-se calendários e são conhecidos simplesmente como "folhinhas".

O calendário que usamos é o Gregoriano (do Papa Gregório XIII), responsável pelas correções do ano bissexto.

São bissextos os anos divisíveis por 4 (exemplo: 1964, excetuando-se os terminados por dois zeros, e menos que os dois primeiros algarismos formem um número divisível por 4. Exemplos: 1900 não foi bissexto - 2000 será bissexto.

Unidade principal (legal):

É o segundo, cujo o símbolo é = s ou seg.

Segundo é o intervalo de tempo igual à fração de 1 : 86.400 do dia solar.

Logo: 1d = 24h = 14.400m = 86.400s

A representação do número não-decimal que indica unidades de tempo, é feita escrevendo-se em ordem decrescente de valor, os números correspondentes às diversas unidades acompanhados dos respectivos símbolos.

Exemplo:

4d 12h 35m

que se lê: quatro dias, doze horas e trinta e cinco minutos.

Ainda é bom você guardar os nomes dos seguintes períodos de anos:

Conversão com números não-decimais:

Primeiro caso:

Converter um número não decimal em um número inteiro de unidades inferiores.

Exemplo:

Converter 3d 8h 13m, em minutos. É o mesmo que, quantos minutos há em 31d 8h 13m.

Como o dia vale 24h, temos que 3 dias valerão:

3 x 24 = 72h

que somamos com 8h, resulta em 80h

72h + 8h = 80h

Valendo 1h, 60 minutos, temos que 80h valerão:

80 x 60m = 4.800m que, com mais 13m, dá um total de 4.813m.

Segundo caso:

Converter um número inteiro de unidades inferiores em um número não-decimal.

Exemplo:

Converter 4.813 minutos (de tempo) em número não-decimal.

É o mesmo que: quantos dias, horas e minutos há em 4.813 minutos?

Basta efetuar as operações inversas do problema anterior, da seguinte maneira:

Portanto => 3d 8h 13min

Operação com os números não-decimais:

ADIÇÃO:

Vamos desenvolver a técnica da operação através de problemas.

1. Hoje tenho 20 minutos de "cooper" no parque. Tenho começado às 8h 15min. A que horas terminarei?

Temos:

2. A prova de matemática vai ser só de 50 minutos. Se comerçarmos às 9h 20min, até que horas poderemos entregar a prova?

Temos:

Agora há uma aparente dificuldade, pois 70min já são mais de 1h.

A técnica empregada para solução deste problema é isolar os minutos e horas, fazendo cálculo em separado, assim:

9h + 70min

Sendo:

Logo:

9h + 1h 10min = 10h 10min

3. Três funcionários realizaram horas extras num determinado setor de trabalho, totalizando cada:

Qual o tempo gasto pelos três funcionários?

O cálculo será:

Calculando os segundos, ficará assim:

Portanto:

Calculando os minutos, ficará assim:

Portanto:

SUBTRAÇÃO:

Exemplo:

Um determinado funcionário entrou às 7h 20min e saiu 9h 50min. Quantas horas devo pagar?

Temos, portanto:

Usando o mesmo exemplo, o funcionário entrou às 7h 40min e saiu às 9h e 15min.

Temos, portanto:

Não podendo subtrair 40min de 15min, toma-se emprestado 60 minutos de 9h (que passará a ter 8h) e adiciona-se com os 15min, tornando-se possível a operação de subtração, da seguinte maneira:

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO:

Estudaremos os casos da multiplicação e da divisão de um número não-decimal por um número inteiro, que são os casos mais usuais na vida prática. Para efetuar estas operações, basta multiplicar ou dividir as unidades que compõe o número não-decimal pelo número inteiro, efetuando-se as reduções, sempre que se fizerem necessárias.

Exemplos:

1. Cada um dos 5 funcionários de uma empresa registrou num mês: 25d 30h de trabalho efetivo. Exprimir o total de trabalho efetivo dos 5 funcionários em dias e horas.

Trata-se de multiplicar por 5 o número não-decimal 25d 30h.

Temos, portanto:

25d x 5 = 125d

30h x 5 = 150h

Transformando 150h em números de dias:

Portanto:

125d + 6 dias = 131 dias e 6 horas.

2. Um operário durante o mês trabalhou efetivamente 25d 22h 30min. Um segundo operário, por ter estado doente, trabalhou somente a terça parte desse período. Qual o tempo de trabalho do segundo operário?

Basta dividir por 3 o número não-decimal: 25d 20h 30min.

Temos, portanto:

a) achando o resultado da divisão em dias:

Portanto, resta 1d que é igual a 24h, pelo que devemos adicionar na etapa seguinte.

b) achando o resultado de horas:

20h + 24h = 44h

Portanto, restam ainda 2h x 60min = 120min, pelo que devemos adicionar na etapa seguinte.

c) achando o resultado de minutos:

30min + 120min = 150min

Portanto:

Unindo os cálculos: a, b e c, ficará: 8d 14h 50min.

Como vimos nos estudos anteriores, a hora lida no relógio tem equivalência na base 60 (horas sexagesimal) pertencente ao grupo de sistema numérico não-decimal.

Todo o nosso sistema numérico encontra-se em base decimal ou centesimal, o que vale dizer que as horas lidas no relógio não servirá de base para cálculos de adição, subtração, multiplicação ou de divisão.

Para efetuar esses cálculos, todo número na base sexagesimal deverá ser transformado em sistema numérico centesimal (ou decimal), isto é, com base 100, o que significa que a hora tem 100 minutos e não 60.

Para facilitar o cálculo de apontamento de horas, no cartão de ponto, à exemplo, devemos utilizar a seguinte tabela de conversão:

notação: (‘) significa minutos.

Exemplos da aplicação da tabela:

1. Um determinado empregado atrasou-se injustificadamente no trabalho 20 minutos (20’), levando-se em consideração que recebe R$ 3,00 por hora, o desconto será calculado da seguinte maneira:

20’ = 0,333333

Portanto:

R$ 3,00 x 0,333333 = R$ 0,99999 = R$ 1,00.

2. Seguindo o mesmo exemplo, o atraso foi de 1:45h.

Neste caso, o desconto será:

1:45h = 1,75 => (= 1 + 0,75)

Portanto:

R$ 3,00 x 1,75 = R$ 5,25.

3. Seguindo o mesmo exemplo, o atraso foi de 4:01h.

O desconto será calculado da seguinte maneira:

4:01h = 4,016667 => 4 + 0,016667

Portanto:

R$ 3,00 x 4,016667 = R$ 12,05.

Cálculos de tempo de serviço:

Os métodos tradicionais de contagem de tempo de serviço, na prática é realizada da maneira mais simples possível. Uns utilizam as famosas "folhinhas" e contam dia-a-dia, outros utilizam os "dedos" para fazerem os cálculos. Sem dúvida, além do erro que pode ser cometido, toma-se tempo.

Através de recursos matemáticos, é possível deixar de lado essas velhas técnicas, agilizando e eliminando possíveis erros nos cálculos, então vejamos algumas:

Cálculos de idade:

Para cálculo de idade de uma determinada pessoa, basta fazer um cálculo simples de subtração.

Exemplo:

Uma pessoa nasceu no dia 22/11/71. Digamos que a data de hoje seja 25/12/97. Pergunta-se, quantos anos, quantos meses e quantos dias tem essa pessoa?

1º passo => Organizar três colunas: A, B e C. Onde A represente o dia, o B representa o mês e C representa o ano.

2º passo => Faz-se a subtração naturalmente.

Portanto, a idade é: 26 anos, 01 mês e 03 dias.

Utilizando o mesmo exemplo, porém com a data de nascimento no dia 29/11/71.

Nesse cálculo encontramos um pequeno problema, isto é, não dá para subtrair 29 de 25. Como fica?

Nesse caso, empresta-se da coluna B os dias proveniente mês de dezembro, que tem 31 dias, então:

A fica 25 + 31 dias = 56 dias

B fica 11, ao invés de 12, porque quando ocorreu o empréstimo de 31 dias, foi subtraído de 12.

Então, o resultado ficará:

A = 56 - 29 = 27 dias

B = 11 - 11 = 00 mês

C = 97 - 71 = 26 anos.

Cálculos de tempo de serviço:

Para cálculo de aposentadoria ou cálculo de férias, objetivando obter o tempo de serviço, utiliza-se o mesmo critério anterior.

Assim, temos por exemplo, um empregado admitido em 19/04/89 e desligou-se no dia 23/12/97. Qual é o tempo de serviço?

Portanto, o seu tempo de serviço é de 8 anos, 8 meses e 4 dias.

Outro exemplo:

Um empregado foi admitido em 14/07/96. Foi desligado no dia 19/12/97. Qual o direito de férias desse empregado?

O empregado tem direito a férias integrais de 1 ano, mais 5/12 avos de férias proporcionais.

Cálculos para projeção de tempo de serviço:

Para se elaborar, por exemplo, o contrato de experiência pelo prazo de 30 dias, para um determinado empregado admitido em 12/11/97 e desejamos obter a data de vencimento, devemos utilizar o seguinte cálculo:

1º passo: toma-se como base o último dia do mês e adicione + 1 dia;

2º passo: sobre o resultado do primeiro passo subtrai-se a data de admissão;

3º passo: toma-se como base o prazo do contrato de experiência, que é de 30 dias e subtrai-se pelo resultado do 2º passo.

Logo, o cálculo ficará assim:

31 => 30 + 1

-12 => dia da admissão na empresa

19 => temos então 19 dias em novembro

Posteriormente => 30 - 19 = 11 dias (que fica para o mês seguinte)

Nesse caso, o contrato de experiência vencerá no dia 11/12/97, quando completará exatamente 30 dias.

Outro exemplo:

Tomando-se como base o mesmo exemplo, porém com o contrato de experiência de 90 dias, perguntamos, quando vencerá?

Seguindo o mesmo exemplo, sabemos que até o dia 30/11/97, o empregado possui 19 dias. Partindo daí, basta adicionarmos os dias dos meses seguintes até completar 90 dias. Vejamos:

Percebemos que já estamos próximo dos 90 dias. Se adicionarmos mais um mês, isto é, o mês de fevereiro, isso estoura !!!

Portanto, fazemos o último cálculo, tomando-se como base o prazo de experiência e subtraímos pelos dias acumulados. Logo temos:

Neste caso, o contrato de experiência vencerá no dia 09 de fevereiro/98, quando completará exatamente 90 dias.